중등영재교육원 대비 수학 특강] 고수를 이겨라

컴퓨터를 이용하여 얼마나 논리적으로 프로그램을 잘 설계했는지를 알아보는 대표적인 것 중의 하나가 바로 서양 장기인 체스를 두는 인공 지능 컴퓨터입니다. 1989년 사상 최초로 이루어진 체스 컴퓨터와 세계적인 체스마스터인 러시아 선수와의 대결에서는 러시아 선수가 쉽게 승리했으나, 이후 초당 1억개 이상의 수를 생각해내는 슈퍼컴퓨터를 이용한 향상된 프로그램이 개발되면서 인간과 컴퓨터와의 승패 격차가 줄어들더니 현재에 와서는 컴퓨터가 인간을 이기는 경우가 더 많아지고 있습니다.

체스와 비슷한 장기와 바둑 또한 사람을 상대로 하는 인공 지능 프로그램들이 개발되어 있습니다. 하지만 체스나 장기와는 달리 바둑은 그 경우의 수를 헤아리기가 거의 불가능할 뿐만 아니라 게임 방식 자체에도 차이가 있습니다. 그래서 아직은 컴퓨터 수준이 인간의 수준에 훨씬 미치지 못하고 있지만 체스가 그랬던 것처럼 바둑도 언젠가는 세계를 제패하는 인공 지능 컴퓨터가 등장할 것이라고 생각하는 사람들도 있습니다.

이러한 믿음을 가지고 바둑 프로그램 개발에 몰두하던 어떤 기업에서 드디어 개발을 완료하여 회사 내부 직원들을 대상으로 테스트를 했습니다. 직원들을 모두 물리치던 바둑 컴퓨터가 드디어 회사의 최고수와 맞붙게 되었습니다. 지금까지의 테스트 결과로 볼 때 최고수와 컴퓨터가 서로 상대를 이길 확률이 정확히 반반이라고 합니다. 시합 방식은 각각 10점의 기본 점수를 가지고 시작하여, 한 판을 이기면 1점을 얻고, 지면 2점을 잃는 방식으로 계속하여 누적 점수가 0점 또는 1점이 되는 쪽이 시합에서 지는 것입니다. 컴퓨터가 8째 판에 시합에서 지게 될 경우의 수를 구해 보세요.

이 문제를 해결할 때 주의해야 할 점은 8째 번에 처음으로 컴퓨터의 누적 점수가 0점 또는 1점이 되어야 하고, 그 이전까지는 양쪽 모두 누적 점수가 2점 이상이어야 한다는 것입니다. 그렇지 않으면 중간에 시합이 끝나게 됩니다. 컴퓨터가 이긴 판이 x번, 진 판이 y번이라면 x+y=8이고 10+x-2y가 0 또는 1이 되어야 합니다. 따라서 7째 판까지 2번 이기고 5번 지면 되는데, 만일 7째 판에 이겨서 누적 점수가 2점이 되는 경우는 6째 판을 둔 후의 결과에서 누적 점수가 1점이었단 뜻이므로 게임이 끝났어야 합니다. 따라서 7째 판에는 반드시 져야 하므로 6째 판까지 2번 이기고 4번 져야 합니다. 6판 중에서 두 판을 고르는 경우의 수는 6×5÷2=15이므로 8째 판에 컴퓨터가 시합에서 지게 되는 경우는 모두 15가지입니다.

<1> 달모와 원주 두 사람이 씨름 경기의 결승전에서 맞붙게 되었습니다. 다음과 같은 규칙에 따라 우승자를 가린다면 달모 또는 원주가 우승자가 될 수 있는 경우는 모두 몇 가지인지 구하시오.

[규칙 1] 전체 경기 중 세 경기를 먼저 이긴 사람이 우승
[규칙 2] 시작과 동시에 연속 두 경기를 먼저 이겨도 우승
[규칙 3] 무승부는 없다.

<2> 그림과 같이 16장의 서로 다른 우표가 이어져 있습니다. 여기에서 3개로 연결된 우표를 선택하는 방법을 모두 찾으려고 합니다. 단 변과 변이 정확하게 일치하도록 연결되어야 하며, 어느 한 곳이라도 변의 일부만 연결되어 있거나 꼭짓점에서만 연결된 모양은 제외합니다.

<3> 한 변의 길이가 1㎝인 정오각형이 있습니다. 한 개의 주사위를 던져서 나온 눈의 수만큼 화살표 방향으로 꼭짓점 A를 출발하여 정오각형의 둘레를 움직이는 점을 P라 할 때, 주사위를 두 번 던져서 점 P가 꼭짓점 C 또는 D에 오는 경우의 수를 구하시오. 단, 둘째 번 던질 때는 첫째 번 던져서 점 P가 도달한 꼭짓점을 출발점으로 합니다.

경향신문