어느 날 무라 부족의 부족장이 정부 대표에게 면담을 요청하였습니다. 정부 대표는 뻔한 내용이라 생각하여 돌려보내려 하였으나, 부족장이 구체적인 요구 조건을 제시하려고 한다고 하자 일단 들어보기로 하였습니다. 부족장은 여느 때와 마찬가지로 보호 구역 확장을 요구하며 구체적으로 다음과 같은 제안을 하였습니다. “우리 부족에게 2시간만 주시오. 세 명의 부족민이 각자 마을을 떠나 세 방향으로 걸어가서 2시간 만에 도착한 세 지점을 꼭짓점으로 하는 새로운 삼각형 모양의 땅을 주시오.” 이 말을 들은 정부 대표는 그래봐야 얼마나 넓어질까라는 생각에 “좋소. 단, 세 명은 우리가 고를 것이고 걷는 방향도 현재 마을 경계의 연장선 방향으로 제한할 것이오.”라는 조건을 달아 수용하였습니다.
마침내 새로운 경계를 정하는 날이 되었습니다. 모든 부족민이 모인 가운데 정부 대표가 마음대로 세 청년을 선발하였습니다. 그런데 하필이면 한 청년은 마을에서 게으르기로 유명한 사람이었고, 다른 한 청년은 매우 병약한 사람이었습니다. 다행이 나머지 한 청년은 걸음이 빠른 청년이었습니다. 시간이 되어 마을의 세 꼭짓점 A, B, C 지점에서 각각 반직선 BA, CB, AC 방향으로 세 청년이 출발하였습니다. 게으른 청년은 귀찮은 듯 시속 5km로 터벅터벅 걸었고, 병약한 청년은 죽을힘을 다했지만 시속 7.5km가 한계였습니다. 걸음이 빠른 청년은 부족의 미래를 생각하며 시속 10km의 빠른 걸음으로 걸었습니다. 마침내 두 시간이 지났을 때, 세 사람이 도착한 지점을 경계로 새로운 보호 구역을 계산한 부하 직원이 원래의 보호 구역보다 수십 배나 넓어졌다고 보고하자 정부 대표는 깜짝 놀라고 말았습니다. 정확히 몇 배나 넓어졌을까요?
비례를 이용하여 도형의 넓이를 구하는 문제 중 특히 삼각형은 높이만 일정하다면 밑변의 길이의 비에 따라 다양한 모양과 간단한 조건 제시만으로 문제를 구성할 수 있기 때문에 자주 출제됩니다. 위 문제에서 A, B, C 지점에서 출발한 세 청년이 도착한 지점을 각각 D, E, F라고 하면, 선분 AD, BE, CF의 길이는 각각 원래 정삼각형의 한 변의 길이의 2배, 3배, 4배입니다.
삼각형 DAC, FCB는 삼각형 ABC와 높이가 같으므로 넓이의 비는 밑변의 비와 같습니다. 따라서 삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면 두 삼각형의 넓이는 각각 2S, 4S입니다. 또한 삼각형 DBC와 DEB, 삼각형 FAB와 FDA, 삼각형 FCB와 FBE는 각각 높이가 같으므로 밑변의 비를 이용하면 그림과 같이 넓이를 구할 수 있습니다.
따라서 새로 만들어진 영역의 넓이는 원래 보호 구역의 넓이의 36배나 됩니다.
<1> 삼각형 ABC에서 점 D는 변 BC의 중점이고, 점 E는 선분 AD의 중점, 점 F는 선분 BE의 중점, 점 G는 선분 FC의 중점입니다. 삼각형 EFG의 넓이와 삼각형 ABC의 넓이의 비를 구하시오.
<2> 넓이가 72cm2인 삼각형 ABC가 있습니다. 선분 AE, BF의 길이는 각각 선분 AB, BC의 길이의 ⅓이고, 점 D는 선분 AC의 중점일 때, 삼각형 EFD의 넓이를 구하시오.
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