중등영재교육원 대비 수학 특강]사이좋은 삼형제

어느 마을에 우애가 남다르기로 소문난 삼형제가 살고 있었습니다. 평소에도 조금만 좋은 것이 생기면 서로 나눠 갖던 삼형제가 살던 마을에 어느 해 극심한 가뭄으로 흉년이 들고 말았습니다. 동생들을 걱정하던 큰형이 하인을 불러 곳간에 있는 쌀 중에 세 가마니를 둘째네 집으로 보냈습니다. 큰형에게서 쌀을 받은 둘째는 자신보다는 막내가 더 어려울 것이라며 쌀을 가져온 하인에게 한 가마니만 두고 나머지 두 가마니는 막내네 집으로 가져가 달라고 부탁하였습니다. 이런 사정을 모르던 막내가 식구가 가장 많은 큰형을 걱정하는 마음에 두 가마니 중 한 가마니만을 받고 나머지 한 가마니는 큰형에게 돌려보냈습니다.

쌀 한 가마니를 가지고 돌아온 하인을 본 큰형은 어찌 도로 가지고 왔느냐며 또다시 세 가마니를 둘째네 집으로 보내었고, 둘째와 막내도 각각 이전과 똑같이 도로 돌려보냈습니다. 결국 이 하인은 무려 50번을 왕복하게 되었고, 기진맥진한 상태에서 큰형의 곳간을 살펴보니 쌀이 단 한 가마니만 남아있는 것을 알게 되어 비로소 쉴 수 있었습니다. 세 형제가 모여서 처음에 각자 가지고 있던 쌀의 양을 비교해보니 둘째는 막내보다 세 가미니, 큰형은 둘째보다 세 가마니를 더 가지고 있었음을 알 수 있었습니다. 그렇다면 처음에 큰형의 곳간에 있던 쌀의 양은 얼마일까요? 또 마지막에 둘째와 막내의 곳간에 남아있는 쌀은 각각 얼마씩일까요?

일정한 규칙이 반복되는 형태의 문제에서는 규칙의 핵심을 찾아 수학적으로 표현하면 간단히 해결할 수 있습니다. 위 문제에서 한 번 반복할 때마다 첫째네 쌀은 두 가마니가 줄고, 둘째와 셋째는 각각 쌀 한 가마니씩 늘어납니다. 따라서 n째번 시행 후 첫째, 둘째, 셋째가 가지고 있는 쌀의 양을 각각 A, B, C라 하면 (n+1)째번 시행 후 첫째, 둘째, 셋째가 가지고 있는 쌀의 양은 각각 (A-2), (B+1), (C+1)이 됩니다.

50번을 반복한 후 첫째에게 남은 쌀이 한 가마니이고 한 번에 두 가마니씩 줄어들었으므로 거꾸로 생각하면 첫째가 처음에 가지고 있던 쌀의 양은 1+50×2=101(가마니)임을 알 수 있습니다. 처음에 세 형제가 가지고 있던 쌀의 양이 각각 세 가마니 차이였으므로 처음에 둘째는 101-3=98(가마니), 막내는 98-3=95(가마니)를 가지고 있었습니다. 둘째와 셋째의 쌀의 양은 한 번에 각각 한 가마니씩 늘어나므로 50번을 반복한 후 마지막에 남은 쌀의 양은 각각 처음에 가지고 있던 것보다 50가마니씩 늘었습니다. 따라서 둘째는 98+50=148(가마니), 막내는 95+50=145(가마니)의 쌀을 가지고 있습니다.

<1> 1에서 100까지의 자연수가 적힌 카드 100장을 위에서부터 아래로 차례대로 쌓아놓고, 위에서부터 2장을 버리고 다음 한 장을 맨 밑으로 놓기를 반복합니다. 맨 마지막에 남는 2장의 카드에 쓰인 수의 합은 얼마입니까?

<2> 길이가 30㎝인 곧은 철사를 지면에 똑바로 세워 고정시킵니다. 그리고 위쪽 끝에서 1㎝ 되는 부분을 남쪽 방향으로 구부린 다음, 그 아래 1㎝ 되는 부분을 동쪽 방향으로 구부립니다. 다시 1㎝마다 북쪽, 서쪽 방향으로 구부립니다. 이와 같은 과정을 반복하여 더 이상 구부릴 수 없을 때까지 철사를 구부리면 철사의 맨 끝 부분은 어느 방향을 가리키겠습니까?

<3> 평면 위에 그려진 정삼각형의 각 변의 중점을 연결하여 생기는 가운데 삼각형을 제거합니다. 또 남아 있는 3개의 정삼각형의 중점을 연결하여 각 정삼각형의 가운데에 생기는 정삼각형을 제거합니다. 이러한 과정을 계속 반복하여 만들어지는 삼각형 모양의 체를 시에르핀스키 삼각형이라고 합니다. 이런 과정을 6단계까지 시행하는 동안 버려진 삼각형을 모두 더한 개수를 구하시오.

경향신문