중등영재교육원 대비 수학 특강]자리 바꾸기

원주는 친구들과 함께 매주 독서모임을 합니다. 이 독서모임에는 8명이 참가하는데, 아래 그림과 같이 두 개의 원 모양을 따라 앉는 특이한 자리 배치로 유명합니다.

이 모임에는 한 가지 규칙이 있습니다. 매주 모일 때마다 자리를 바꾸는데, 다음과 같이 한 번에 두 단계를 거쳐서 옮겨 앉습니다.

[1단계] 먼저 왼쪽 원을 따라 앉아 있는 5명의 학생들이 시계 방향으로 한 칸씩 자리를 옮겨 앉습니다. [2단계] 1단계와 같이 자리를 옮긴 상태에서 이번에는 오른쪽 원을 따라 앉아 있는 5명의 학생들이 시계 방향으로 한 칸씩 자리를 옮겨 앉습니다.

이와 같은 방법으로 자리를 옮겨 앉았더니 둘째 주에는 자리 배치가 그림과 같이 바뀌었습니다.

모든 학생들이 처음에 앉아있던 자리로 다시 돌아오는 것은 최소한 몇째 주에나 가능할까요?

배열의 조건이나 규칙이 복잡한 경우에는 문제를 간단한 경우부터 생각하여 확장시켜 나가는 방법으로 해결하는 것이 좋습니다. 위 문제에서 우선 원주의 자리 배치만 생각해 봅시다. 원주는 3번의 자리 이동 후에는 원래의 자기 자리로 돌아가게 됩니다. 또한 이동 규칙이 같은 송미와 주희도 3번을 옮기면 자기 자리로 돌아갑니다. 마찬가지로 각각의 학생에 대해서 따로따로 생각해 보면, 준영, 윤경, 태희는 5번을 옮겨야 원래의 자리로 돌아오게 되고, 현주와 달모도 5번을 옮기면 원래의 자리로 돌아가게 됩니다. 따라서 모든 학생이 원래의 자리로 돌아가려면 3과 5의 최소공배수인 15번만큼 자리를 이동하면 되므로 16째 주에는 첫째 주와 같은 자리 배치가 됩니다.

<1> 주어진 수를 한 번씩만 사용하여 숫자 크로스 퍼즐을 모두 채워야 합니다. A+B+C의 값을 구하시오. 단, 주어진 수의 숫자 순서를 바꾸어 넣을 수는 없습니다.

24, 73, 139, 289, 387, 456, 532, 575, 621, 668, 716, 754, 808, 956

<2> 다음 규칙에 따라 1에서 9까지의 숫자를 한 번씩만 써 넣으려고 합니다. A와 B에 들어갈 숫자를 각각 구하시오.

삼각형 안의 숫자는 이웃하는 오각형 안의 수들의 곱의 첫째 자리 숫자입니다.

② 사각형 안의 숫자는 이웃하는 도형들 안의 수들의 곱의 끝 자리 숫자입니다.

③ 오각형 안의 숫자는 이웃하는 도형들 안의 수들의 합의 첫째 자리 숫자입니다.

단, 두 자리 수에서 십의 자리는 첫째 자리를 의미하고, 일의 자리는 끝 자리를 의미합니다. 또한 한 자리 수에서는 일의 자리가 첫째 자리이면서 동시에 끝 자리입니다.

경향신문