중등영재교육원 대비 수학 특강] 봉사활동 따라가기

진경이네 학교에 새로 오신 수학 선생님은 학생들에게 인기가 대단합니다. 이 선생님은 매주 2번 형편이 어려운 학생들을 위해 방과 후 봉사 활동을 하고 있었습니다. 수학 선생님의 눈에 띄고 싶었던 진경이는 선생님이 하시는 봉사 활동에 참여할 방법을 궁리하다가 교무실 청소를 하던 중 선생님의 책상에 있던 달력에서 다음과 같은 사실을 알게 되었습니다.

도대체 무슨 요일에 봉사 활동을 간다는 표시인지 알 수 없었던 진경이는 마침 교무실로 들어오신 수학 선생님께 용기를 내어 여쭈어 보았습니다. 난처한 표정을 지으시던 선생님께서는 진심으로 봉사 활동에 참여하고 싶다는 진경이의 말에 다음과 같이 힌트를 주셨습니다. “이건 나만의 요일 계산 방법이란다. 이 방법으로 계산하면 (금+화=목)이고, (목-월=토)가 되지.” 진경이는 봉사 활동가는 요일을 찾아낼 수 있을까요?

핏 복잡해 보이는 암호들 중에는 나머지를 이용한 것이 제법 많이 있습니다. 7일을 단위로 요일이 반복되면서 28~31일을 주기로 날짜가 반복되는 달력의 특징은, 나머지를 이용한 문제의 소재로 사용하기에 적합하여 여러 가지 변형 형태로 자주 출제됩니다.

위 달력에서 각 요일에 해당하는 날짜를 7의 배수와 나머지의 합으로 나타내어 봅시다. 예를 들어, 금요일의 날짜는 2+7n, 화요일의 날짜는 6+7m과 같이 나타냅니다. 그러면 금요일+화요일=8+7(n+m)=1+7l로 표시할 수 있는데, 목요일의 날짜는 1+7k로 나타낼 수 있으므로 (금+화=목)이라고 쓸 수 있습니다. (단, n, m, l, k는 정수입니다.) 이와 같은 방법으로 나타나면, 금+일=(2+7n)+(4+7m)=6+7k이므로 (금+일=화)이고, 화×월=(6+7n)×(5+7m)=30+42m+35n+49mn=2+7(6m+5n+7mn+4)=2+7k이므로 (화×월=금)입니다. 즉, 수학 선생님이 봉사 활동을 가시는 요일은 화요일, 금요일입니다.<1> 1부터 1000까지의 자연수 중에서 5로 나누면 3이 남고, 7로 나누면 6이 남고, 9로 나누면 8이 남는 수를 모두 구하시오.

<2> 화요일이 5번 있는 달이 있습니다. 첫날과 마지막 날이 화요일이 아닐 때, 마지막 날은 무슨 요일입니까?

<3> 1의 3제곱+2의 3제곱+3의 3제곱+…+2006의 3제곱+2007의 3제곱+2008의 3제곱을 3으로 나눈 나머지를 구하시오.

경향신문