중등영재교육원 대비 수학 특강] 아르키메데스

인류 역사상 가장 위대한 수학자 중 한 명으로 고대 그리스의 학자 아르키메데스를 꼽습니다. 목욕탕에서 진짜와 가짜 왕관을 구분할 수 있는 방법을 발견하고는 기쁨에 겨워 “유레카”를 외치며 발가벗은 채로 뛰어나왔다는 일화로 유명한 그는, 여러 가지 위대한 수학적 발견 외에도 수많은 발명을 하였습니다. 제 2차 포에니 전쟁 당시 로마 함대가 그의 조국인 시라쿠스를 공격하였을 때, 그가 발명해 낸 거대한 투석기와 갈고리로 전함들을 침몰시키고, 거울을 이용하여 바다 위의 함선들을 불태워버리기도 하였습니다. 이에 로마군은 정면 공격을 포기하고 축제일 밤에 기습을 하여 결국 시라쿠스를 함락시켰습니다.

로마군이 쳐들어 올 당시, 아르키메데스는 모래 위에 도형을 그리며 무언가를 골똘히 연구하고 있었는데 한 병사가 그의 그림을 밟고 지나가자 “내 도형을 밟지 마라!”하며 크게 소리쳤다고 합니다. 그가 누구인지 알 리가 없는 병사는 화가 나서 그를 단칼에 베어 죽였는데, 뒤늦게 이 사실을 안 로마군의 지휘자 마르켈루스는 그의 죽음을 안타까워하며 평소 그가 제자들에게 부탁했던 대로 다음과 같은 모양의 그림을 그의 묘비에 새겨 넣어 그를 추모했다고 합니다. 이 그림은 원뿔, 원기둥, 구의 부피 사이의 비례 관계를 나타내어 주는데, 아르키메데스 스스로 이 발견을 얼마나 높이 평가했는지를 알 수 있습니다. 묘비에 새겨진 구, 원뿔, 원기둥의 부피 사이에는 어떤 관계가 있을까요?

위 문제는 워낙 유명하여 영재교육원이나 외고 입시에도 등장한 적이 있어 관심이 있는 학생이라면 한 번쯤은 보았을 것입니다. 그림에서 구의 반지름을 이라 하면 이 구의 부피는 ¾πR3으로 나타낼 수 있습니다.

원기둥과 원뿔의 반지름이 구의 반지름과 같고, 높이는 구의 지름에 해당하므로 원뿔의 부피는 πR2 x 2R x ⅓=⅔πR3 으로 구의 부피의 절반입니다.

또한 원기둥의 부피는 πR2 x 2R=2πR3 으로 원뿔의 부피의 3배입니다. 즉, 세 입체도형의 부피의 비는 (원뿔) : (구) : (원기둥) = 1 : 2 : 3 으로 놀랍게도 정수비임을 알 수 있습니다.

<1> 다음과 같은 직육면체 모양의 물통에 물이 ¾ 만큼 들어 있습니다. 이 물통에 금으로 된 왕관을 물에 완전히 잠기도록 넣었더니 들어 있던 물의 10%가 넘쳤습니다. 이 왕관의 부피를 구하시오.

<2> 아래와 같은 모양의 그릇에 매분 일정한 양의 물을 5분간 부었더니 채워진 물의 높이가 3cm가 되었습니다. 물을 가득 채우기 위해서는 몇 분간 더 부어야 하는지 구하시오.

<3> 사면체 ABCD의 네 모서리 BC, CD, DB, AD의 중점을 각각 P, Q, R, S라고 할 때, 두 사면체 APQR과 SQDR의 부피의 비를 구하시오.

경향신문