중등영재교육원 대비 수학 특강] 빙산의 넓이

일각으로 빙산 크기 구하기
남극의 세종과학기지에서 연구원으로 근무하는 강동진씨는 어느 날 거대한 빙하의 일부가 육지에서 떨어져 나와 바다로 흘러가는 것을 발견하고는 그 변화 상태를 관찰하기 시작하였습니다. 이 빙산은 신기하게도 위에서 보면 한 변의 길이가 16km에 달하는 완벽한 정사각형 모양을 띠고 있는 사각기둥 모양이었습니다. 이 빙산에 추적 센서를 부착하여 이동 경로를 살펴보던 어느 날, 해류를 따라 위도 40° 부근까지 북상한 빙산을 발견하고는 항공사진 촬영을 하였더니 윗면의 모양이 팔각형으로 변해 있었습니다. 그 사이 빙산의 모양이 어떻게 변화하였는지 궁금해진 강동진씨는 추적 센서의 이동 경로를 바탕으로 빙산의 모양이 촬영되었을 법한 위성사진을 찾아보았으나 단 한 장만 입수하게 되었습니다. 처음 모양과 위성사진, 마지막 항공사진을 겹쳐 보았더니 아래 그림과 같이 중간 위성사진에서 관측된 모양은 원래 정사각형의 각 변의 중점을 잇는 정사각형 모양이었습니다.

마지막 항공사진에서 관측된 모양은 위성사진의 모양에서 일부가 잘려나간 모양이었는데, 처음의 정사각형의 각 변을 4등분하는 점을 이은 정사각형과 위성사진의 정사각형이 겹친 부분과 일치하였습니다. 강동진씨는 이 사진을 친구에게 메일로 보내주면서 현재 빙산 윗면의 넓이를 구하는 퀴즈를 내고는 만일 알아맞히면 남극의 멋진 풍경을 담은 사진을 더 보내주겠다고 하였습니다. 친구에게 보내는 메일에 주어진 힌트라고는 떨어져나간 삼각형 모양의 두 부분 ㉮와 ㉯의 넓이의 합이 16 ㎢라는 것뿐입니다. 이 팔각형 모양의 빙산 윗면의 넓이는 얼마일까요?

위 그림에서 정사각형 EFGH의 넓이는 ABCD의 넓이의 절반이므로 128 ㎢입니다.

또한 정사각형 IJKL의 넓이는 ABCD의 넓이에서 직각삼각형 JBK의 넓이의 4배를 뺀 것과 같으므로 16x16-4x(4x12x½)=160(㎢)입니다. 한편, 구하고자 하는 빙산 윗면의 넓이를 S라고 하면 정사각형 EFGH의 넓이는 S+4㉮, 정사각형 IJKL의 넓이는 S+4㉯라고 할 수 있습니다. 따라서 S+4㉮=128, S+4㉯=160의 두 방정식과 ㉮+㉯=16의 조건을 이용하면 빙산 윗면의 넓이가 112㎢임을 구할 수 있습니다.

<1> 다음과 같이 서로 다른 2개의 정사각형을 겹쳐 놓았습니다. 이 도형은 직선 AC, BD를 대칭축으로 하는 선대칭도형이고, ㉮, ㉯의 넓이가 각각 16, 18일 때, 정사각형 ABCD의 넓이를 구하시오.

<2> 정사각형 ABCD의 내부에 한 변의 길이를 각각 지름, 반지름으로 하는 원의 일부를 그려 넣었습니다. 색칠한 부분의 넓이를 구하시오.

<3> 다음 직사각형 ABCD에서 영역 ①, ②, ③의 넓이의 합과, 영역 ④의 넓이가 서로 같음을 보이시오.

경향신문