중등영재교육원 대비 수학 특강]측량과 수학

진섭이네 아버지는 토목기사입니다. 어릴 때부터 아버지를 따라 이곳저곳의 공사 현장을 다녀볼 기회가 많았던 진섭이는 자연스럽게 건설과 관련된 일에 관심을 갖게 되었습니다. 요즘 진섭이네 아버지께서는 어느 연구소에서 설치 중인 입자가속기 공사 현장에서 근무하시는데, 진섭이가 아버지께 부탁하여 공사 현장을 찾았습니다. 공사 현장을 둘러보던 진섭이에게 아버지께서 다음과 같은 설명을 하셨습니다.

“입자가속기는 아주 작은 물질을 매우 빠른 속력으로 움직이게 하는 거대한 실험장치란다. 빠른 속력을 얻기 위해 원 모양으로 만들어져 있는데, 가장 큰 것은 둘레가 27㎞나 되지. 지난번에 보았던 자동차 주행 시험장과 비슷하지만 땅 속에 만들어진단다.”

“전 그런 것엔 관심 없어요. 오로지 건축, 토목에만 관심이 있다고요.”

“그놈 참. 그러면 아버지가 내는 문제를 해결하면 네가 좋아하는 내용들을 알려주마. 지금 네가 서 있는 곳(A) 바로 밑으로 원 모양의 가속기가 지나간단다. 정면에 보이는 건물이 원의 중심(O)이고, 네 자리에서 원의 중심을 연결하는 직선이 반대쪽 원의 둘레와 만나는 지점(B)에 이 연구소의 정문이 있어. 정문에서 가속기인 원의 둘레를 따라 일정한 간격으로 기숙사(C)와 전시관(D)이 지어질 예정이지. 네 위치와 기숙사를 잇는 직선(AC)이 네 위치를 각의 꼭짓점으로 하는 정문과 전시관 사이의 각(∠BAD)을 이등분한다고 할 수 있을까? 수학적으로 설명할 수 있겠니?”

원을 이용하면 중심각이 원주각의 2배이며, 반지름과 호의 길이가 같으면 중심각의 크기도 같다는 특징을 발견할 수 있습니다. 이를 거꾸로 이용하면 각의 측정을 통해 같은 거리의 위치를 측량할 수도 있습니다.문제에서 주어진 조건을 오른쪽 그림과 같이 나타낼 수 있습니다.

① 삼각형 OAC는 이등변삼각형이므로 ∠OAC와 ∠OCA의 크기가 같습니다. 따라서 외각인 ∠COB는 ∠CAB의 2배입니다. 즉, 한 호에 대하여 중심각의 크기는 원주각의 크기의 2배입니다.

② 부채꼴 BOC와 COD의 반지름과 호의 길이가 각각 같으므로 중심각의 크기도 같습니다. 따라서 ∠DOC=∠COB=2∠CAB이고, ∠DAC는 호 DC의 원주각이므로 중심각인 ∠DOC의 절반입니다. 따라서 ∠DAC와 ∠CAB의 크기가 같으므로 직선 AC는 ∠DAB의 이등분선입니다.

<1> 다음과 같이 원 O에 내접하는 사각형 ABCD가 있습니다. 선분 AB와 선분 AC의 길이가 같고 각 BAC의 크기가 30°일 때, 각 ADC의 크기를 구하시오.

<2> 다음과 같이 원 위에 다섯개의 점 A, B, C, D, E가 있습니다. 선분 AC와 선분 BE가 원의 지름이고, 호 DE의 길이는 호 CD 길이의 2배입니다. 각 CAD의 크기가 20°일 때, 각 OFB의 크기를 구하시오.

<3> 삼각형 ABC에서 각 BAC의 크기가 30°이고 선분 AB와 선분 AC의 길이가 같습니다. 점 A에서 변 BC에 그은 수선과 점 B에서 변 AC에 그은 수선의 교점을 P, 삼각형 ABP의 외접원과 변 AC의 교점 중 A가 아닌 점을 Q라 할 때, 각 PQC의 크기를 구하시오.

경향신문