중등영재교육원 대비 수학 특강] 뉴튼산

재용이네 아버지께서 일하시는 놀이공원은 오전 10시에 개장을 합니다. 이 놀이공원은 워낙 인기가 좋아 늘 입장 시작 전부터 와서 기다리는 사람들이 많을뿐더러 이후로도 꾸준히 사람들이 몰려옵니다. 고객들의 불만 사항을 개선하는 업무를 담당하는 재용이네 아버지께서는 접수된 불만 사항 중 입장하기 위해 줄을 서서 기다리는 시간이 너무 길다는 것에 대한 불만이 많다는 것을 알고 실태 조사를 해보았습니다.

이 놀이공원에서는 평소 두 개의 입구를 통해 손님들이 입장을 합니다. 가장 많은 사람이 찾는 일요일의 경우, 일정한 시간 간격으로 계속하여 손님들이 온다고 생각할 때, 오전 10시부터 입장을 시작하면 오전 10시24분이 되어서야 먼저 와서 기다리던 사람들 및 꾸준히 오고 있는 사람들의 대기 줄이 모두 사라져 기다리지 않고 바로바로 들어간다는 것을 알 수 있었습니다. 고민을 하며 열심히 계산을 하던 재용이네 아버지는 똑같은 상황에서 하나의 입구를 더 열어 모두 세 개의 입구를 통해 입장을 한다면 10시8분이면 대기 줄이 모두 사라져 기다리지 않고 바로 입장할 수 있다는 결론을 내렸습니다.

이 말은 들은 재용이는 먼저 와서 기다리는 사람이 몇 명인지 궁금하여 아버지께 여쭤보았더니 아버지께서는 한 개의 입구로 1분에 10명씩 입장할 수 있다는 말씀만을 하셨습니다. 재용이의 궁금증을 해결하여 보세요.

수나 양이 일정하게 계속해서 증가하며 단위 시간마다 일정하게 소비하는 문제 유형을 뉴튼산이라고 합니다. 뉴튼산의 대표적인 유형으로는 일정한 속도로 풀이 자라는 목장에서 소에게 풀을 먹이는 문제, 매표소의 줄 서기 문제, 물 퍼내기 문제 등이 있습니다. 뉴튼산 문제를 해결할 때는 단위 시간 당 증가하는 양을 가정한 다음, 단위 시간 당 소비되는 양과 비교합니다.

위 문제에서 24분 동안 2개의 입구를 통해 입장하는 사람은 10×2×24=480(명)이고, 8분 동안 3개의 입구를 통해 입장하는 사람은 10×3×8=240(명)입니다. 24분 동안 입장한 사람 수와 8분 동안 입장한 사람 수의 차이는 바로 16분 동안 꾸준히 찾아온 사람 수입니다. 따라서 1분 동안 찾아오는 사람 수는 (480-240)÷16=15(명)입니다. 따라서 8분 동안 입장한 사람 수에서 8분 동안 찾아온 사람 수를 빼면 10시 이전부터 기다린 사람 수를 구할 수 있습니다. 8분 동안 입장한 사람 수가 240명이므로 240-15×8=120(명)의 사람들이 먼저 와서 기다리고 있음을 알 수 있습니다.

<1> 일정한 속력으로 위로 올라가는 에스컬레이터가 있습니다. 현정이와 재영이가 에스컬레이터에서 걸어서 올라갑니다. 현정이는 1분에 20계단씩 올라가서 5분 만에, 재영이는 1분에 15계단씩 올라가서 6분 만에 위에 도착하였습니다. 위층으로 올라가는 데 몇 개의 계단이 있습니까?

<2> 어느 목장에서는 20마리의 소가 6일 동안 3헥타르의 풀을 먹고, 25마리의 소가 14일 동안 7헥타르의 풀을 먹는다고 합니다. 매일 풀이 자라는 양이 일정하다고 할 때, 10헥타르의 풀을 45마리의 소가 먹는다면 며칠 동안 먹을 수 있습니까?

<3> 지구에서 매년 새로 만들어지는 자원의 양이 일정하다면, 지구상의 모든 자원으로 110억 인구가 90년을 생활할 수 있거나, 90억 인구가 210년을 생활할 수 있다고 합니다. 세계 인구가 최대 몇 명일 때 지구상의 자원으로 영원히 살 수 있습니까?


<4> 어떤 목장은 날씨가 너무 추워서 매일 일정한 양의 풀밭이 줄어듭니다. 이 목장에서 20마리의 소는 5일 동안, 15마리의 소는 6일 동안 풀을 먹을 수 있습니다. 10일 동안 풀을 먹이려면 소는 몇 마리가 있어야 합니까?
경향신문