제트엔진 개발 원리 속 ‘수학’

가스터빈의 구조 ⓒ 위키피디아

제트엔진의 개발과 유지보수에 있어 수학의 이론과 응용은 무엇보다 중요하다. 이에 수학의 발전과 제트엔진이 어떻게 상호작용하여 왔으며, 현대 수학이 어떻게 활용되고 있는 살펴보고자 한다.
터보제트엔진, 뉴턴 법칙에 의해 만들어져
제트엔진은 제트기류를 분출함으로써 추력을 얻는 기관으로 대부분의 여객기와 전투기는 제트엔진을 사용하고 있다. 제트엔진은 광의로 로켓, 스크램제트, 터보제트, 터보팬을 의미하고 협의로 가스터보엔진인 터보제트엔진을 의미한다.
가스터빈의 원리를 이해하기 위해 구성요소의 역할을 살펴보기로 한다. 가스터빈의 주요구성요소는 흡입구, 압축기, 연소기, 터빈, 노즐이다.
 가스터빈 주위의 대량의 공기가 지속적으로 흡입구(Inlet)에 유입이 된다. 유입된 공기는 흡입구의 뒤에 위치한 압축기(Compressor)로 흘러들어 간다. 압축기에서 유출되는 공기는 가스터빈에 유입되는 공기보다 상대적으로 높은 압력을 지니게 된다.
이러한 현상을 만드는 것이 압축기를 구성하고 있는 airfoil 형태의 터빈 날개(turbine blades)로 구성된 팬들(fans)이다. 압축기 뒤에 위치하는 연소기(Combustion Chamber)를 통해 배출되는 고온의 가스가 터빈(turbine)을 통과한다.
터빈에서 빠져나오는 높은 압력과 온도의 공기는 공기의 흐름을 가속화시키는 배기계통(Exhaust System)인 노즐(Nozzle)을 통과하여 높은 추력이 발생하게 된다.
터보제트엔진의 출력은 뉴턴의 제2법칙(가속도의 법칙)과 제3법칙(작용 반작용의 법칙)에 의해서 만들어진다.
터빈엔진에서의 열효과는 열역학의 법칙에 따른다. 터보제트엔진에서 발생되는 열에너지는 엔진의 압축기 부분에서 얻어지고 연료가 연소되면서 증가되고 이러한 열에너지는 추력(thrust)으로 변환이 된다.
가스는 터빈을 지나고 냉각이 되면서 노즐을 통하여 배출이 된다. 여기에서 기계적인 에너지, 열에너지, 압력에너지로 변환되면서 에너지의 총합은 불변하며 열역학 제1법칙인 에너지 불변의 법칙이 적용될 수 있다. 터빈엔진의 효율은 소비된 연료량에 대한 추력의 비로 정의된다.
베르누이의 유체역학 이론, 항공기 제작 핵심 원리
다니엘 베르누이(Daniel Bernoulli, 1700.2.8 ~ 1782.3.17)는 1738년 유체역학(Hydrodynamica)라는 출간물에 유체역학이론들을 발표하였다.
Hydrodynamica에는 현대 항공기 제작의 핵심원리인 ‘유체의 속력이 증가하면 압력은 낮아진다’는 베르누이의 원리가 기술되어 있다.
유체의 속도가 증가하면 압력이 낮아지고 속도가 감소하면 압력이 높아져 압력이 높은 곳에서 낮은 곳으로 이동하려는 힘(양력)에 의해 비행기가 뜨게 된다.
즉 날개 상부의 공기의 흐름이 빠르고 하부가 느리면 각각 상부의 압력은 하부에 비해 낮아 날개는 압력이 작은 쪽인 상부로 올라가는 힘(양력)이 발생하고 비행기는 그 힘으로 뜰 수가 있게 된다.
오일러 방정식으로 수력터빈 설계
레온하르트 오일러(Leonhard Euler, 1707.04.15 ~ 1783.09.18)는 1749년 출간물 Scientia navalis 에 수력터빈의 기본원리와 그에 대한 응용문제로써 수력터빈을 설계한 것을 발표한다. 여기에는 오늘날 가스터빈 개발에 필수적인 오일러 펌프방정식(Euler’s pump equation), 오일러 터빈 방정식(Euler’s turbine equation) 등이 소개되어 있다.
스위스의 항공우주공학자 야콥 아케레트(Jakob Ackeret, 1898 ~ 1981) 은 1944년에 오일러가 제안한 수력터빈을 제작하였다. 오일러의 아이디어에 의해 탄생한 기계는 71%의 효율성을 갖고 있다. 오늘날의 기술력에 의해 제작되는 터빈이 80%를 조금 넘는 것에 비하면 주목할 만하다.
수치해석, 안정적인 해 도출·검증
수치해석은 편미분방정식의 원리, 수치최적화, 수치선형대수학, 미분 기하학, 확률이론, 전산학 등의 기본원리를 바탕으로 사회과학, 자연과학, 공학 현상을 모델화하고 시뮬레이션하여 안정적인 해를 도출하고 검증하는 과정을 총괄하는 응용 수학의 한 분야이다.
이러한 이유로 터빈엔진의 모든 물리, 화학적인 과정을 디자인하고 제어하기 위해서는 없어서는 안되는 중요한 분야이다. 최근에는 과학계산이라는 보다 더 큰 범주에서 다양한 학문분야와 융합, 교류되고 있다.
편미분방정식 이용해 터빈엔진 소음 제어
터빈엔진의 소음을 효과적으로 감소시키기 위해 수치해석과 실험이 진행되어 오고 있다. 톱니 모양의 노즐(chevron nozzles)을 사용하여 소음을 30%이상 줄일 수 있는데, 롤스로이스사가 개발한 (롤스로이스)Rolls-Royce 1000 와 GE사가 개발한 GEnx-2B67 이 현재 상용화되고 있다.
터빈엔진의 소음을 제어하기 위해서는 비선형 편미분 방정식(Nonlinear Partial Differential Equations)인 압축성 나비어-스톡스 방정식(Compressible Navier-Stokes Equations)과 이를 단순화시킨 압축성 오일러 방정식(Compressible Euler Equations) 그리고 음향파동방정식(Acoustic Wave Equations)의 활용이 필수적이다.
아울러 엔진의 부품의 변형 등의 물성을 구현할 수 있는 탄성역학방정식(Elastodynamic Equations)이 필요하다. 음파가 탄성체로써의 엔진부품에 상호작용을 야기하기에 상기 나열한 방정식들을 최종적으로 함께 풀어야 복합소재의 적절한 선택과 소재의 기하학적 형상으로부터 생기는 물리적인 특성을 보다 더 구체적이고 효율적으로 이해할 수 있게 된다.
터빈날개 내열성 연구에도 활용
가스터빈에서 가장 중요한 부품 중의 하나가 터빈날개(turbine blades)인데 손상과 마모를 줄이는 것이 관건이다. 가스터빈기관의 고효율성은 구성요소간의 압력비나 연소기의 온도를 상승시킴으로써 얻을 수 있다. 온도를 상승시킴으로써 생기는 터빈날개의 내열성이 문제가 된다. 최근에는 이러한 연구를 위해 수학의 이론을 바탕으로 한 수치시뮬레이션과 실험이 병행되고 있다.

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