꽃잎 수, 해바라기 씨 배열… 궁금증 풀어주는 규칙의 원리 피보나치 수열과 자연

<그림1>

3살짜리 둘째는 10개의 계단을 올라갈 때 아빠의 손을 잡고 한 칸씩 올라간다. 7살 먹은 첫째는 키가 컸다고 계단을 성큼성큼 2칸씩 올라가는 경우가 있다. 둘째는 10계단을 오르는데 단 한 가지 방법밖에 없지만 첫째는 10계단을 오르는 방법의 수가 많아졌다. 2계단씩 언제 몇 번을 오르느냐에 따라서다. 계단을 오르는 방법의 가짓수는 고대 생물 암모나이트(그림1)와 관련이 있다.

원리를 찾아서 해결할 수도 있지만 규칙을 찾아서 해결하는 것도 좋은 방법이다. 먼저 규칙을 찾아보자. 계단이 한 칸만 있다면 첫째가 쓸 수 있는 방법은 1가지이다. 계단이 2칸 있으면 1칸씩 올라가는 방법과 2칸을 한꺼번에 올라가는 방법 2가지가 있다. 이렇게 3계단, 4계단, 5계단을 오르는 방법의 가짓수는 다음과 같다.

3계단을 오르는 방법 ①1+1+1 ②2+1 ③1+2의 3가지.

4계단을 오르는 방법 ①1+1+1+1 ②2+1+1 ③1+2+1 ④1+1+2 ⑤2+2의 5가지.

5계단을 오르는 방법 ①1+1+1+1+1 ②2+1+1+1 ③1+2+1+1 ④1+1+2+1 ⑤1+1+1+2 ⑥2+2+1 ⑦2+1+2 ⑧1+2+2의 8가지.

1계단에서 5계단까지 오르는 가짓수는 차례로 1, 2, 3, 5, 8이다. 이 수들의 규칙은 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8로 바로 앞의 두 가지 수를 더하면 다음의 수가 된다는 것이다. 이 같은 방법으로 10개의 수를 적어보면 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89로 결국 첫째가 10계단을 오르는 방법은 무려 89가지 경우가 나온다.

이 수열이 발견한 수학자의 이름을 딴 피보나치 수열이다. 피보나치 수열은 자연에서 많이 찾아볼 수 있다. 암모나이트나 달팽이의 나선형 모양을 세로로 잘라 정사각형을 그려보면 <그림2>처럼 각 정사각형의 한 변의 길이가 피보나치 수열을 이루고 있다. 식물 줄기에 잎이 배열된 간격, 꽃잎의 수, 해바라기 꽃의 씨의 배열 등 피보나치 수열로 설명되는 자연현상은 다양하다.

초등, 중등, 고등 어느 수학과정에서도 피보나치 수열 자체를 다루는 단원은 없다. 하지만, 규칙은 초등 수학과정의 5대 영역 중 하나이고 여러 가지 규칙을 공부하는데 피보나치 수열과 같이 풍부한 이야깃거리를 가진 것도 드물다.

한국일보

<그림2>